Suite des nombres impairs

On considère la suite des nombres impairs, 1, 3, 5, 7 …
On nomme ces termes successivement  \(I_1, I_2, I_3, I_4, ...\) de sorte que  \(I_1=1 ; I_2=3 ; I_3=5;...\)

1. Premiers calculs
    a. Compléter les égalités suivantes.
_{\(I_4=\_\_\)                             \(I_{\_\_}=15\)                            \(I_{10}=\_\_\)                     \(I_{100}=\_\_\)}      

    b.  Si  \(n\)  désigne un entier naturel non nul, on note  \(I_n\)  le   \(n^{\text{ieme}}\)  nombre impair. Donner, sans démonstration, une formule pour exprimer \(I_n\)  en fonction de \(n\) . 

2. Application                                                 
    a. Calculer  \(I_{1\ 000}, I_{347} \text{ et }I_{5\ 009}\) .  
    b. Avec ces notations, calculer en fonction de  \(n\) les nombres :  

\(I_{n+1}, I_n+1, I_{2n}, 2I_n \text{ et }I_{2n-1}\)

3. Sommes de nombres impairs
On note \(S_1=I_1=1 ;\ S_2=I_1+I_2=1+3=4\) , et plus généralement,  \(S_n=I_1+I_2+I_3+...+I_n\) .
    a. Recopier et compléter le tableau suivant.

    b. En déduire une relation entre  \(S_{n+1}, S_n \text{ et }I_{n+1}\) _.       
    c. En observant les résultats du tableau, conjecturer une expression de \(S_n\)  en fonction de  \(n\) . 

4. Preuve géométrique
Dans le schéma suivant, chaque carreau est de côté \(\text{1}\) .

    a. Expliquer pourquoi le schéma ci-dessus peut représenter la somme des \(\text 3\) premiers entiers naturels impairs.
    b. Est-il possible de réorganiser les carreaux pour obtenir un carré ?
    c. Utiliser la question précédente pour justifier la conjecture faite dans la partie 3.
    d. Application : calculer  \(1+3+5+7+...+2\ 025\) .